December 24th, 2013

Санкт-петербургский "парадокс" и его решение

Вам предлагают игру. Бросают монету, если выпадает "орел", то Вам дают 2 тыс. рублей. Если "решка", то игра прекращается. Причем,если "орел" выпадает второй раз подряд то сумма Вашего выигрыша удваивается и становится равной 4 тыс. рублей. Если каждый последующий раз выпадает "орел", то удваивается сумма предыдущего выигрыша. Таким образом Ваш выигрыш составит 2^N, где N - количество раз выпадений "орла" подряд (N=0,1,2...)
Вопрос  - сколько бы Вы готовы были заплатить за участие в этой игре, при условии, что монета честная?
Если считать математическое ожидание выигрыша в этой игре, то оно равно бесконечности или 2*(1/2)+2^2/(1/2)^2+.... Если единицы складывать между собой миллион раз, то получится бесконечность.
Почему же люди не готовы платить много за участие в этой игре? Диапазон ответов от 1 тысячи до 10 тысяч рублей
Вариантов ответа два.
Первый и традиционный. Потому, что люди не склонны рисковать. Если для человека важнее "синица в руках, чем журавль в небе", то он во всякие сомнительные игры включаться не станет. Но люди-то играют в азартные игры и играют на более худших условиях, чем в этой игре
Второй вариант и правильный. Чтобы получить ожидаемую бесконечность выигрыша у Вас должно быть бесконечное количество денег! Вот если у Вас 1 млн. рублей, то сколько раз должен выпадать "орел", чтобы Вы выиграли сумму эквивалентную миллиону. Где-то двадцать раз подряд: 2^20=1 млн. Это означает что Вы свою ожидаемую тысячу сможете сложить не бесконечное количество раз, а всего-то двадцать раз. И именно на эту сумму (т.е. 20 тысяч рублей) Вы будете готовы рискнуть, даже если к риску Вы нейтральны.
А если Ваши ресурсы выделенные на игру составляют 8 тысяч рублей, то какую сумму Вы готовы заплатить за участие в этой игре при условии нейтральности к риску?

25. XII. 2013

Неважно, что было вокруг, и неважно,
О чем там пурга завывала протяжно,
что тесно им было в пастушьей квартире,
что места другого им не было в мире.

Во-первых, они были вместе. Второе,
и главное, было, что их было трое,
и все, что творилось, варилось, дарилось,
отныне, как минимум, на три делилось.

Морозное небо над ихним привалом
с привычкой большого склоняться над малым
сверкало звездою - и некуда деться
ей было отныне от взгляда младенца

Костер полыхал, но полено кончалось;
все спали. Звезда от других отличалась
сильней, чем свеченьем, казавшимся лишним,
способностью дальнего смешивать с ближним.
(И. Бродский, 25 декабря 1990)