Представьте себе ситуацию. В классе учатся 25 человек. Какова вероятность того, что хотя бы у кого-то из учеников дни рождения совпадут. В целях упрощения будем считать, что високосных лет нет и дети рождались случайным образом (на самом деле не совсем случайным, определенный «всплеск» рождаемости наблюдается через 9 месяцев после летних отпусков)
Эту задачу легче решать не через совпадения, а через не совпадения. Для начала представим, что классе учатся 366 человек. Понятно, что у кого-то день рождения обязательно совпадет. Вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двоих равна 1. А если 365 челов? Представьте себе 365 коробок (это у нас дни в году), в которые попадает каждый чел. Для первого чела пространство для попадания не ограничено. А вот для второго уже не все так просто. Ему, чтобы не было совпадений, нужно не попасть в коробку, куда уже попал первый чел. Вероятность этого дела 364/365. Для третьего вероятность – 363/365. Для последнего 1/365. Чтобы случилось именно это событие, когда все 365 человек сидят по своим коробкам и никто не попадает в коробку другого, то эти вероятности нужно перемножить. Получим 365!/(365^365). Эта вероятность ничтожно мала. А вот при любом другом раскладе в одной коробке окажется минимум два чела, у которых дни рождения совпадут. Это альтернативное событие достаточно близко к единице.
Зайдем с другого бока. Пусть в классе 2 человека. С какой вероятностью дни рождения у них не совпадут? Правильно 364/365. А если 3 человека? 364*363/365^2. Итоговая формула для несовпадений дней рождений будет выглядеть как n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1)/n^(k-1), где n – число коробок в которых нужно разместить челов, в нашем случае число дней в году, а k – количество челов в классе
Загоним данные в Excell. Получим, что при 25 человек в классе вероятность совпадения составит 0,569. Теорвер предсказывает, что в более чем в половине классов школы найдутся учащиеся, у которых день рождения в один день. А вот, если взять группу челов числом в 50, то вероятность совпадений дней рождений станет уже 0,97
В целом же график зависимости совпадений дней рождений хотя бы у двух человек в компании от размера компании выглядит следующим образом
Обратите внимание, как это отличается от Вашего интуитивного представления о вероятности. Если интуиция подводит, то нужна статистика и теорвер.
